Matemáticas

1.1 Números reales

1.2 Números complejos

1.3 Expresiones algebraicas

2.2 Teorema del residuo y del factor

El Teorema del Residuo y el Teorema del Factor son herramientas fundamentales en el álgebra para analizar y simplificar polinomios sin necesidad de realizar divisiones largas completas.

1. Teorema del Residuo. Este teorema establece que el residuo de dividir un polinomio $P(x)$ entre un binomio de primer grado de la forma ($x -a$) es igual a evaluar dicho polinomio en $a$, es decir, $R=P(a)$. Este método permite calcular el resto de la división rápidamente sin realizar la división polinomial larga.
   • Definición: El residuo de dividir $P(x)$ entre $(x-a)$ es igual al valor numérico del polinomio evaluado en $a$, es decir, $R=P(a)$.
   • Finalidad: Encontrar el residuo ($R$) de una división polinomial sin dividir.
   • Condición: Funciona exclusivamente cuando el divisor es un binomio de primer grado (lineal).
   Pasos para aplicarlo:
   1. Igualar el divisor a cero: Si el divisor es $(x-a)$, despeja $x$, obteniendo $x=a$. Si el divisor es $(x+a)$, despeja $x$, obteniendo $x=-a$. Si el divisor es $x-3$, hacemos $x-3=0\Rightarrow x=3$.
   2. Sustituir: Sustituir este valor en el polinomio original $P(x)$. Reemplaza todas las $x$ en el polinomio $P(x)$ por el valor de $a$.
   3. Calcular: El resultado numérico es el residuo. EL resultado de la operación es el residuo de la división.
   Ejemplo:
   Hallar el residuo de $\frac{5x^4 - 2x^2 + 3}{x-5}$.
   • $a=5$
   • Sustituir $x=5$:
     $\frac{5(5)^4 - 2(5)^2 + 3}{1}=5(5)^4 - 2(5)^2 + 3=3125 - 50 + 3=3078$.
2. Teorema del Factor. Es un caso especial del Teorema del Residuo que sirve para determinar si un binomio es un factor exacto de un polinomio (es decir, si lo divide exactamente).
   • Definición: Un binomio $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ si y solo si el residuo es cero ($P(a)=0$).
   • Utilidad: Encontrar las raíces de un polinomio y a realizar su factorización completa.
   Ejemplo.
   ¿Es $(x-2)$ un factor de $P(x)=x^3 - 4x^2 + x + 6$?
   1. Identificar el valor de $a$:
      Si el divisor es $(x-2)$, entonces $a=2$.
   2. Evaluar el polinomio en $a$:
      Sustituimos $x=2$ en $P(x)$:$$P(2)=(2)^3-4(2)^2+(2)+6$$
   3. Realizar las operaciones aritméticas:$$P(2)=8-4(4)+2+6$$ $$P(2)=8-16+2+6$$ $$P(2)=0$$
   4. Concluir según el teorema:
      Como el resultado es $0$, el residuo es cero. Por lo tanto, $(x-2)$ sí es un factor del polinomio.
   Resultado:
   El binomio $(x-2)$ es un factor de $x^3-4x^2+x+6$ porque al aplicar el Teorema del Residuo, $P(2)=0$.

2.3 Simplificación de fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas consiste en reducir una fracción a su mínima expresión. El secreto no está en "tachar" términos al azar, sino en factorizar primero para cancelar factores que sean iguales arriba (numerador) y abajo (denominador).

1. La Regla de Oro. Solo puedes cancelar términos que se estén multiplicando. Jamás canceles término que estén sumando o restando directamente.
   • Bien: $\frac{a\cdot b}{a\cdot c} = \frac{b}{c}$
   • Mal: $\frac{a+b}{a+c}\neq \frac{b}{c}$
2. Pasos para simplificar
   1. Factorizar completamente el numerador y el denominador (usando factor común, diferencia de cuadrados o trinomios).
   2. Identificar los factores idénticos en ambos niveles.
   3. Dividir (cancelar) esos factores (su división da 1).
   4. Escribir la expresión resultante.
3. Ejemplos Tipo Examen.
   Caso A: Factor Común
   Simplificar: $\frac{5x^2+10x}{5x}$
   1. Factor común arriba: $5x(x+2)$
   2. Expresión: $\frac{5x(x+2)}{5x}$
   3. Cancelamos $5x$: Resultado $=x+2$
   Caso B: Diferencia de Cuadrados y Trinomio
   Simplificar: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$
   1. Factorizar arriba (diferencia de cuadrados): $(x-3)(x+3)$
   2. Factorizar abajo (trinomio $x^2 + bx + c$): $(x+2)(x+3)$
   3. Expresión: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)}$
   4. Cancelemos $(x+3)$: Resultado $=\frac{x-3}{x+2}$

Consejos rápidos:

• Si al cancelar se va todo lo de arriba, queda un 1 (no cero).
• Cuidado con los signos: $(x-y)$ es lo mismo que $-(y-x)$.

2.4 Operaciones con fracciones algebraicas

Para dominar las operaciones con fracciones algebraicas, la regla de oro es: primero factoriza, luego opera y al final simplifica.

1. Simplificación (La base). Antes de sumar o multiplicar, debes reducir la fracción eliminando factores comunes arriba y abajo.
   • Ejemplo: $\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{(x+3)(x-3)}{x(x+3)}=\frac{x-3}{x}$
2. Multiplicación y División. Son las más sencillas porque no requieren un denominador común.
   • Multiplicación: Se multiplica "lineal" (numerador por numerador, denominador por denominador).$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
   • División: Se multiplica "cruzado" o se invierte la segunda fracción y se multiplica (Ley del sándwich).$$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$
3. Suma y Resta. Aquí es donde la mayoría se confunde. Necesitas el Mínimo Común Múltiplo (mcm) de los denominadores.
   • Mismo denominador: Solo sumas los numeradores.$$\frac{x+1}{x}+\frac{2}{x}=\frac{x+3}{x}$$
   • Diferente denominador:
     1. Factoriza los denominadores.
     2. Obtén el mcm (factores comunes y no comunes con su mayor exponente).
     3. Divide el mcm entre cada denominador y multiplica por su numerador respectivo.

Ejemplo de Examen (Suma):
Calcula: $\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x-2}$

1. mcm: $(x+2)(x-2)=x^2 -4$
2. Ajuste: $\frac{1(x-2)+3(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
3. Resolver: $\frac{x-2+3x+6}{x^2-4}=\frac{4x+4}{x^2-4}$

Consejo para el examen. Si ves una expresión muy compleja, no multipliques los polinomios de inmediato. Manténlos factorizados hasta el final, ya que es muy probable que algo se cancele (se "haga un uno") y te ahorre mucho tiempo.

3.1 Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad

Para dominar este tema, es vital distinguir entre una verdad absoluta y una condición. Conceptos clave:

1. Ecuación vs. Identidad
   • Ecuación: Es una igualdad que solo se cumple para ciertos valores de la incógnita.
     • Ejemplo: $x + 5 = 10$. Solo es cierta si $x=5$.
   • Identidad: Es una igualdad que se cumple para cualquier valor que le des a la letra. Suelen ser productos notables o propiedades.
     • Ejemplo: $2(x +1)=2x +2$. No importa si $x$ vale $1$, $100$ o $-5$, ambos lados simpre serán iguales.
2. Propiedades de la Igualdad. Son las "reglas" para despejar. Lo que haces de un lado del signo $=$ lo debes hacer del otro para mantener el equilibrio:
   1. Reflexiva: $a=a$ (Todo número es igual a sí misma).
   2. Simétrica: Si $a = b$, entonces $b = a$ (Puedes leer la ecuación de derecha a izquierda).
   3. Transitiva: Si $a = b$ y $b = c$, entonces $a = c$.
   4. Uniforme (Suma/Resta/Mult/Div): Si sumas, restas, multiplicas o divides la misma cantidad en ambos lados, la igualdad se mantiene.
      • Ejemplo: Si $x - 3 = 7$, sumamos $3$ en ambos lados: $x - 3 + 3 = 7 + 3 \rightarrow x = 10$.

Ejemplo.
¿Cuál de las siguientes expresiones representa una identidad?

1. $3x -2 = 10$
2. $(x + 3)^2 = x^2 + 6x +9$
3. $x^2 -4 = 0$
4. $2x + 5 = x+ 8$

Respuesta correcta: B.

• Explicación: La opción B es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Si resuelves la operación de la izquierda, obtienes exactamente lo de la derecha. Es una verdad universal. Las otras (A, C, D) son ecuaciones porque solo tienen una o dos soluciones posibles.

Consejo para el examen: Si te preguntan si algo es una identidad y no estás seguro, sustituye la $x$ por $1$. Si ambos lados dan el mismo número, prueba con el 2. Si sigue dando igual, ¡es una identidad!

3.2 Ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones de primer grado, también conocidas como ecuaciones lineales, son igualdades algebraicas donde la potencia máxima de la incógnita (usualmente $x$) es uno. Resolverlas consiste en encontrar el valor numérico que hace que la igualdad sea verdadera, manteniendo siempre el equilibrio entre el lado izquierdo y el derecho del signo igual.

Conceptos Fundamentales

• Igualdad: Es una relación que indica que dos expresiones tienen el mismo valor.
• Incógnita: El valor desconocido que se busca resolver, representado generalmente por letras.
• Miembros: Las expresiones situadas a cada lado del signo igual; primer miembro (izquierdo) y segundo miembro (derecho).

Procedimiento de Resolución (Despeje). Para resolver estas ecuaciones en un examen de ingreso, se recomienda seguir estos pasos basados en las propiedades de la igualdad:

1. Agrupar términos semejantes: Mueve todos los términos que contienen la incógnita a un lago de la ecuación (usualmente el izquierdo) y las constantes al otro.
2. Operaciones inversas: Al pasar un término de un lado a otro, se aplica su operación contraria:
   1. Suma $\leftrightarrow$ Resta
   2. Multiplicación $\leftrightarrow$ División
3. Simplificar: Realiza las sumas o restas de los términos agrupados.
4. Despejar la incógnita: Si la variable tiene un coeficiente multiplicando, pásalo dividiendo al otro lado para dejar la $x$ sola.

Ejemplo Práctico.
Resolver la ecuación: $4x-3=9$

• Paso 1: Pasar el $-3$ al lado derecho sumando: $4x=9+3$
• Paso 2: Simplificar: $4x=12$
• Paso 3: Pasar el $4$ dividiendo: $x=12/4$
• Resultado: $x=3$

Verificación. Para confirmar que tu resultado es correcto, sustituye el valor obtenido en la ecuación original. Si ambos lados resultan en el mismo número (en el ejemplo: $4(3)-3=12-3=9$), la solución es válida.

4.1 Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades

Una desigualdad de primer grado (o inecuación) es una relación de orden entre dos expresiones algebraicas que solo se cumple para ciertos valores de la incógnita. A diferencia de las ecuaciones, el resultado suele ser un intervalo.

1. Signos de Desigualdad
   • $ < $ (Menor que) / $>$ (Mayor que): Indican intervalos abiertos (el valor no se incluye).
   • $\leq$ (Menor o igual que) / $\geq$ (Mayor o igual que): Indican intervalos cerrados (el valor sí se incluye).
2. Propiedades Fundamentales. Para resolverlas, se despeja igual que en una ecuación, con una excepción crítica:
   • Suma y Resta: Si sumas o restas el mismo número en ambos lados, la desigualdad no cambia.
   • Multiplicación y División por positivos: La desigualdad se mantiene.
   • Regla de oro: Si multiplicas o divides ambos lados por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.
     • Ejemplo: Si $-2x < 10$, al dividir entre $-2$ queda $x > -5$.
3. Resolución Paso a Paso.
   Ejemplo: $3x -5 > 7$
   1. Pasamos el $5$ sumando: $3x > 7 + 5$
   2. Simplificamos: $3x > 12 $
   3. Pasamos el $3$ dividiendo (como es positivo, signo no cambia): $x>\frac{12}{3}$
   4. Resultado: $x>4$
   Representación:
   • Intervalo: $(4, \infty)$
   • Gráfica: Una línea recta con un círculo abierto en el 4, extendiéndose hacia la derecha.

Consejo para el examen: Recuerda siempre verificar si el círculo en la gráfica es abierto (paréntesis) o cerrado (corchetes) según el signo de la desigualdad.

5.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

5.2 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

6.1 Dominio, contradominio y regla de correspondencia

Para entender una función desde el punto de vista algebraico, imagina una "máquina" que transforma valores de entrada en valores de salida. Estos tres conceptos definen cómo opera esa máquina:

1. Dominio ($D_f$). Es el conjunto de todos los valores de entrada (normalmente la variable $x$) para los cuales la función está definida y produce un número real. El dominio se suele restringir por dos reglas:
   1. Denominadores: No pueden ser cero (ej. en $1/x$, $x\neq 0$).
   2. Raíces pares: El radicando debe ser mayor o igual a cero (ej. en $\sqrt{x}$, $x\geq 0$).
2. Contradominio (Codominio o Rango $R_f$). Es el conjunto de todos los valores de salida posibles (la variable $y$ o $f(x)$) que resultan después de aplicar la función a los elementos del dominio.
   • Gráficamente, el dominio se observa en el eje horizontal ($x$) y el rango en el eje vertical ($y$).
3. Regla de correspondencia. Es la fórmula o expresión algebraica que indica qué operación se le debe hacer a $x$ para obtener $y$.
   • Ejemplo: En $f(x)=x^2+1$, la regla dice: "toma un número, elévalo al cuadrado y súmale uno".

Ejemplo:
Dada la función $f(x)=\frac{1}{x-3}$:

• Regla: Divide 1 entre la diferencia de $x$ y $3$.
• Dominio: Todos los reales excepto el $3$ ($\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 3\}$), porque si $x=3$, el denominador se hace cero.
• Contradominio: Todos los reales excepto el $0$, ya que nunca podrás obtener $0$ al dividir $1$ entre otro número.

6.2 Rango o imagen

El rango (también llamado imagen, codominio efectivo o recorrido) de una función es el conjunto de todos los valores de salida que la función realmente puede tomar. En términos más simples, si el dominio son todos los valores que le puedes dar a $x$, el rango son todos los valores resultantes que obtienes en $y$.

Visualmente en una gráfica, el dominio se lee de izquierda a derecha (eje $x$), mientras que el rango se lee de abajo hacia arriba (eje $y$).

Cómo calcular el rango analíticamente. A diferencia del dominio, que suele calcularse buscando restricciones (como divisiones entre cero o raíces negativas), el rango requiere un poco más de estrategia algebraica. El método más común para funciones algebraicas consiste en despejar $x$ en términos de $y$ y luego buscar las restricciones para $y$.

Veamos los tres escenarios más comunes en funciones algebraicas:

1. Funciones Lineales (Polinomiales de grado 1). Son de la forma $f(x) = mx + b$. Como son líneas rectas que se extienden infinitamente hacia arriba y hacia abajo, no tienen ninguna restricción.
   • Rango: Todos los números reales.
   • Notación: $R_f = (-\infty, \infty)$ o $R_f=\mathbb{R}$.
2. Funciones Racionales (Fracciones). Son funciones donde la variable $x$ está en el denominador. Aquí el rango suele excluir el valor de la asíntota horizontal.
   
   Ejemplo: Hallar el rango de $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$.
   1. Sustituimos $f(x)$ por $y$:$$\frac{2x+1}{x-3}$$
   2. Despejamos la $x$:$$y(x-3)=2x+1$$ $$yx-3y=2x+1$$ $$yx-2x=3y+1$$ $$ x(y-2)=3y+1$$ $$x=\frac{3y+1}{y-2}$$
   3. Buscamos la restricción en el denominador. Como no podemos dividir entre cero, $y-2\neq 0$, lo que significa que $y\neq 2$.
      • Rango: Todos los reales excepto el 2.
      • Notación: $R_f = \mathbb{R} - \{2\}$ o $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$.
3. Funciones Cuadráticas (Parábolas). Son de la forma $f(x)=ax^2 + bx + c$. Su gráfica es una parábola que abre hacia arriba (si $a > 0$) o hacia abajo (si $a < 0$). El rango dependerá del vértice de la parábola.
   
   Ejemplo: Hallar el rango de $f(x)=x^2 -4x+5$.
   1. Como $a = 1$ (positivo), la parábola abre hacia arriba. El rango irá desde la coordenada $y$ del vértice hasta el infinito.
   2. Buscamos la coordenada $x$ del vértice con la fórmula $x=\frac{-b}{2a}$:$$x=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2$$
   3. Evaluamos ese valor en la función original para encontrar la coordenada $y$ del vértice:$$f(2)=(2)^2 -4(2) + 5 = 4 -8 + 5 = 1$$
   4. El punto más bajo de la gráfica está en $y=1$ y de ahí sube infinitamente.
      • Rango: Desde 1 inclusive hasta el infinito.
      • Notación: $R_f = [1,\infty)$. (Usamos corchete porque el 1 sí se incluye).

Resumen de Reglas Visuales. Si tienes la gráfica a la mano, determinar el rango es directo:

6.3 Gráfica

El tema de gráficas de funciones algebraicas se enfoca en identificar la forma de la curva y sus elementos clave a partir de la ecuación.

• Función Lineal ($y=mx+b$): Su gráfica es una línea recta.
  • $m$ (pendiente): Indica la inclinación.
  • $b$ (ordenada al origen): Es el punto donde la recta corta al eje $y$.
• Función Cuadrática ($y=ax^2+bx+c$): Su gráfica es una parábola.
  • Si $a > 0$, abre hacia arriba (cóncava).
  • Si $a < 0$, abre hacia abajo (convexa).
  • El punto máximo o mínimo se llama vértice.
• Función Cúbica ($y=ax^3$): Tiene una forma de "S" o silla que cruza el origen (si es básica). Su dominio y rango suelen ser todos los números reales.
• Raíces o Ceros: Son los valores de $x$ donde la gráfica cruza el eje $x$. Se obtienen igualando la función a cero ($y=0$).
• Intersección con el eje $y$: Se obtiene evaluando la función en $x=0$.
• Traslaciones:
  • $f(x)+k$: La gráfica se desplaza hacia arriba $k$ unidades.
  • $f(x-h)$: La gráfica se desplaza hacia la derecha $h$ unidades.
• Simetría:
  • Par: Simétrica respecto al eje $y$ (ej. $x^2$).
  • Impar: Simétrica respecto al origen (ej. $x^3$).

6.4 Implícitas y explícitas

En el estudio de las funciones, la distinción entre implícitas y explícitas radica en cómo se presenta la relación entre las variables $x$ (independiente) e $y$ (dependiente).

1. Funciones Explícitas. Es cuando la variable dependiente $y$ está despejada. Es decir, la función te dice directamente qué operaciones hacerle a $x$ para obtener $y$.
   • Forma: $y=f(x)$
   • Ejemplos:
     • $y = 3x^2 + 5$
     • $y = \sqrt{x-1}$
     • $y = \sin(x)$
2. Funciones Implícitas. Es cuando las variables $x$ e $y$ están mezcladas en la ecuación y ninguna de las dos está despejada. La relación entre ellas no es directa a simple vista.
   • Forma: $F(x, y)=0$
   • Ejemplos:
     • $x^2 + y^2 = 25$ (Ecuación de una circunferencia)
     • $x y + \ln(y)=x$
     • $3x - 5y + 8 = 0$ (Forma general de la recta)

¿Cómo pasar de Implícita a Explícita? Para lograrlo, simplemente debes despejar la $y$.

• Ejemplo: Dada la función implícita $2x + y - 4 = 0$.
  • Despejamos $y$: $y = -2x + 4$.
  • Ahora es una función explícita.

Datos clave para el examen:

1. Dificultad de despeje: No todas las funciones implícitas se pueden convertir a explícitas fácilmente (por ejemplo, $y + e^y = x$).
2. Criterio de la línea vertical: Muchas ecuaciones implícitas (como los círculos) no son funciones en sentido estricto, porque a un valor de $x$ le corresponden dos de $y$.
3. Cálculo: En niveles avanzados de admisión, podrías encontrar ejercicios de derivación implícita, donde derivas ambos lados de la ecuación respecto a $x$.

6.5 Crecientes y decrecientes

• Concepto visual: Una función es creciente si al moverte de izquierda a derecha en el eje $x$, la gráfica sube ($y$ aumenta). Es decreciente si la gráfica baja ($y$ disminuye).
• Definición formal:
  • Creciente: Si $x_1 < x_2$, entonces $f(x_1) < f(x_2)$.
  • Decreciente: Si $x_1 < x_2$, entonces $f(x_1)> f(x_2)$.
• Relación con la pendiente ($m$): En una función lineal ($y=mx+b$):
  • Si $m > 0$ (positiva), la función siempre crece.
  • Si $m < 0$ (negativa), la función siempre decrece.
• Criterio de la primera derivada: Es la forma más rápida de identificar intervalos en funciones no lineales:
  • Si $f^{\prime}(x) > 0$ en un intervalo, la función es creciente.
  • Si $f^{\prime}(x) < 0$ en un intervalo, la función es decreciente.
• Puntos críticos: Son los valores donde la derivada es cero ($f^{\prime}(x)=0$) o no existe. Estos puntos suelen marcar el cambio de dirección (donde la función pasa de crecer a decrecer o viceversa.
• Intervalos: En el examen, la respuesta suele pedirse en notación de paréntesis. Ejemplo: "La función decrece en ($-\infty, 3$)."

6.6 Continuas y discontinuas

Este tema se centra en identificar si la gráfica de una función tiene "saltos" o "huecos".

• Concepto intuitivo: Una función es continua si puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Es discontinua si presenta interrupciones, huecos o saltos.
• Condiciones de continuidad (en un punto $a$): para que $f(x)$ sea continua en $x=a$, se deben cumplir tres pasos:
  1. Que $f(a)$ exista (el punto esté definido).
  2. Que el límite $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ exista (los límites por la izquierda y derecha sean iguales).
  3. Que el valor del límite sea igual al valor de la función: $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
• Tipos de discontinuidad:
  • Removible (o evitable): Hay un "hueco" en la gráfica (un punto faltante), pero los límites laterales coinciden. Suele pasar en fracciones donde se puede simplificar el factor que causa el cero abajo.
  • Esencial (o de salto): Los límites laterales existen pero son diferentes (la gráfica "brinca").
  • Infinita: La función se va al infinito (hay una asíntota vertical). Es común cuando el denominador se hace cero y no se puede simplificar.
• Funciones siempre continuas: Las funciones polinomiales (como $f(x)=x^2 + 3$) son continuas en todos los números reales ($-\infty, \infty$).
• Puntos de conflicto: En el examen, busca los valores que hacen que el denominador sea cero; ahí es donde casi siempre hay una discontinuidad.

6.7 Álgebra de funciones

El álgebra de funciones consiste en realizar operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) y la composición entre dos o más funciones para obtener una nueva. Es vital saber determinar tanto la regla de correspondencia como el dominio de la función resultante. Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones:

1. Operaciones Básicas
   1. Suma: $(f + g) (x) = f(x) + g(x)$
   2. Resta: $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$
   3. Producto: $(f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
   4. Cociente: $(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, siempre que $g(x)\neq 0$.
2. El Dominio en el Álgebra de Funciones. Para las operaciones de suma, resta y multiplicación, el dominio de la nueva función es la intersección de los dominios originales:$$D_{f\pm g \,\text{o}\, f \cdot g} = D_f \cap D_g$$En la división, además de la intersección, debes excluir los valores de $x$ que hacen que el denominador $g(x)$ sea cero.
3. Composición de Funciones ($f \circ g$). Es la operación más evaluada. Significa evaluar una función dentro de otra.
   • $(f\circ g)(x) = f(g(x))$
   • Procedimiento: Tomas la función $g(x)$ y la sustituyes en cada "$x$" que aparezca en $f(x)$.
   Ejemplo: Si $f(x)=x^2$ y $g(x)=x+3$
   • $(f\circ g)(x) = (x+3)^2 = x^2 +6x + 9$
   • $(g \circ f)(x) = (x^2) + 3 = x^2 + 3$
   • Nota: La composición NO es conmutativa $(f \circ g \neq g \circ f)$.
4. Evaluación de funciones. A veces el examen no te pide la fórmula, sino el valor numérico.
   • Si te piden $(f + g)(2)$, puedes calcular $f(2)$, luego $g(2)$ y sumar los resultados. Es más rápido que hacer todo el álgebra.

7.1 Trigonometría básica

7.2 Funciones trigonométricas

8.1 Dominio y rango

Para entender el dominio y el rango en estas funciones, hay que recordar que son operaciones inversas: lo que para una es el dominio, para la otra es el rango.

1. Función Exponencial ($f(x)=a^x$). Donde la base $a > 0$ y $a \neq 1$.
   • Dominio: Todos los números reales ($-\infty$, $\infty$). Puedes elevar la base a cualquier potencia (positiva, negativa o cero).
   • Rango: Todos los reales mayores a cero ($0$, $\infty$). Un número positivo elevado a cualquier potencia nunca será cero ni negativo.
   • Asíntota: Tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ (el eje X).
2. Función Logarítmica ($f(x) = \log_a(x)$). Es la inversa de la exponencial.
   • Dominio: Todos los reales mayores a cero ($0$, $\infty$). No existen logaritmos de números negativos o de cero.
   • Rango: Todos los números reales ($-\infty$, $\infty$). El resultado de un logaritmo puede ser cualquier valor.
   • Asíntota: Tiene una asíntota vertical en $x = 0$ (el eje Y).

Resumen Comparativo

Ejemplos con desplazamientos (Pregunta de examen)

1. Si la función cambia a $f(x)=2^x + 3$:
   1. La gráfica sube 3 unidades.
   2. El rango ahora es $(3, \infty)$. El dominio sigue igual.
2. Si la función cambia a $f(x) =\log(x-5)$:
   1. La gráfica se mueve 5 unidades a la derecha.
   2. El dominio ahora es $(5, \infty)$, porque lo de adentro debe ser mayor a cero $(x-5 > 0)$.

8.2 Gráficas y asíntotas

En este tema, lo más importante es reconocer la forma visual y el comportamiento de las funciones según su base.

1. Función Exponencial ($f(x)=a^x$)
   • Gráfica: Es una curva que crece o decrece rápidamente.
     • Si $a > 1$: La función es creciente (ej. $2^x$).
     • Si $0 < a < 1$: La función es decreciente (ej. $(1/2)^x$).
   • Intersección: Siempre cruza el eje $Y$ en el punto $(0, 1)$, a menos que tenga un desplazamiento.
   • Asíntota: Tiene una asíntota horizontal en el eje $X$ ($y=0$). La curva se acerca al eje pero nunca lo toca.
2. Función Logarítmica ($f(x) =\log_a x$). Es la función inversa de la exponencial.
   • Gráfica:
     • Si $a > 1$: Es creciente.
     • Si $0 < 1 < 1$: Es decreciente.
   • Intersección: Siempre cruza al eje $X$ en el punto $(1, 0)$.
   • Asíntota: Tiene una asíntota vertical en el eje $Y$ ($x =0$). No existen logaritmos de números negativos o cero.

Resumen de Diferencias

Consejo para el examen: Si la ecuación tiene la $x$ como exponente, busca la asíntota acostada (horizontal). Si dice "log", busca la asíntota parada (vertical).

9.3 Pendiente de una recta

La pendiente ($m$) es el concepto clave para entender la inclinación y dirección de una recta en el plano cartesiano.

1. Definición y Fórmula. La pendiente es la razón de cambio entre la ordenada ($y$) y la abscisa ($x$).
   • Dados dos puntos ($x_1, y_1$) y ($x_2, y_2$):$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
   • A partir del ángulo de inclinación ($\theta$):$$m=\tan(\theta)$$
2. Tipos de Pendiente (Comportamiento visual). Saber identificar la pendiente por su signo te ahorrará mucho tiempo:
   • Positiva ($m>0$): La recta sube de izquierda a derecha ($0º < \theta < 90º$).
   • Negativa ($m < 0$): La recta baja de izquierda a derecha ($90º < \theta < 180º$).
   • Cero ($m=0$): La recta es horizontal (paralela al eje $x$).
   • Indefinida: La recta es vertical (paralela al eje $y$, $\theta =90º$).
3. Pendiente desde la Ecuación General. Si te dan la ecuación de la forma $Ax+By+C=0$, puedes obtener la pendiente rápidamente con:$$m=-\frac{A}{B}$$
4. Relación entre dos rectas
   • Paralelas: Sus pendientes son iguales ($m_1 = m_2$).
   • Perpendiculares: Sus pendientes son recíprocas y opuestas ($m_1 \cdot m_2 = -1$).
     • Ejemplo: Si una pendiente es $3/4$, la de la perpendicular es $-4/3$.
5. Consejo de examen. Si el problema te pide el ángulo de inclinación y el resultado de la pendiente es un valor conocido (como $1$ o $\sqrt{3}$), recuerda los valores de la tangente:
   • Si $m=1\Longrightarrow \theta = 45º$
   • Si $m=\sqrt{3}\Longrightarrow \theta = 60º$
   • Si $m=\frac{\sqrt{3}}{3}\Longrightarrow\theta=30º$

9.4 Formas de la ecuación de la recta y su gráfica

1. Forma Pendiente-Ordenada al Origen (Ordinaria). Es la forma más utilizada para graficar directamente.
   • Fórmula: $y = mx + b$
   • Elementos:
     • $m$ = Pendiente (inclinación).
     • $b$ = Ordenada al origen (punto de corte con el eje $y$ en $(0, b)$).
   • Gráfica rápida: Ubica $b$ en el eje $y$. Desde ahí, usa la pendiente ($m=\frac{\text{avance vertical}}{\text{avance horizontal}}$) para hallar un segundo punto.
2. Forma Punto-Pendiente. Se emplea cuando conoces la pendiente y un punto cualquiera de la recta $P_1 (x_1, y_1)$.
   • Fórmula: $y - y_1 = m(x - x_1)$
3. Forma General. Toda recta puede expresarse en esta forma, igualada a cero. Los coeficientes deben ser enteros.
   • Fórmula: $Ax + By + C = 0$
   • Cálculo de pendiente: $m = -\frac{A}{B}$
   • Corte con eje $y(b)$: $b = -\frac{C}{B}$
4. Forma Simétrica (Simétrica o Canónica). Muestra directamente las intersecciones con ambos ejes coordenados.
   • Fórmula: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
   • Elementos:
     • $a$ = Abscisa al origen (corte con eje $x$ en $(a, 0)$).
     • $b$ = Ordenada al origen (corte con eje $y$ en $(0, b)$).
   • Gráfica rápida: Marca $a$ en el eje $x$, marca $b$ en el eje $y$ y une los puntos.

Reactivo Tipo Examen.
Pregunta: ¿Cuál es la ecuación general de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y tiene una pendiente $m = -2$?

1. $2x + y - 5 = 0$
2. $2x - y + 5 = 0$
3. $x + 2y - 10 = 0$
4. $2x + y + 5 = 0$

Resolución:

1. El punto $(0, 5)$ es la ordenada al origen, por lo que $b = 5$.
2. Sustituyes en la forma ordinaria: $y = -2x + 5$.
3. Transpones todos los términos a un solo miembro para igualar a cero: $2x + y - 5 = 0$.

Respuesta correcta: A) $2x + y -5 = 0$

9.5 Condiciones de paralelismo y su perpendicularidad

En el estudio de la línea recta, la relación entre dos rectas se determina analizando sus pendientes ($m$). La pendiente define la inclinación, y compararlas te dirá si las rectas nunca se cruzan o si chocan formando un ángulo de $90º$.

1. Condiciones de Paralelismo. Dos rectas son paralelas si tienen exactamente la misma inclinación. Por lo tanto, sus pendientes son iguales.
   • Condición: $m_1 = m_2$
   • Visualmente: Son como las vías de un tren; mantienen la misma distancia entre sí y nunca se interceptan.
2. Condiciones de Perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares si al cruzarse forman cuatro ángulos rectos ($90º$). En este caso, sus pendientes son recíprocas y de signo contrario (inversas negativas).
   • Condición: $m_1 \cdot m_2 = -1$
   • Fórmula práctica: $m_2 = - \frac{1}{m_1}$
   • Ejemplo: Si la pendiente de la recta 1 es $m_1 = \frac{3}{4}$, la de la recta perpendicular será $m_2 = -\frac{4}{3}$.
3. Cómo obtener la pendiente rápidamente. En el examen suelen darte la ecuación general de la recta: $Ax + By + C = 0$. No pierdas tiempo despejando $y$, usa esta fórmula directa:$$m = - \frac{A}{B}$$

Resumen:

Consejo de examen: Si te dan dos ecuaciones y te preguntan qué relación tienen, calcula la pendiente de ambas con $-A/B$. Si son iguales, marca "paralelas"; si al multiplicarlas dan $-1$, marca "perpendiculares".

9.6 Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular que une a ese punto con la recta. Es, por definición, la distancia más corta posible entre ambos.

La Fórmula. Si tienes una recta en su forma general:$$Ax + By + C = 0$$Y un punto en el plano cartesiano:$$P(x_1, y_1)$$La distancia ($d$) desde el punto $P$ hasta la recta se calcula con la siguiente fórmula:$$d=\frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$Nota clave: Las barras en el numerador $|...|$ representan el valor absoluto. Esto garantiza que la distancia siempre sea un número positivo, ya que no existen distancias negativas.

Ejemplo Práctico.
Problema: Hallar la distancia del punto $P(2, -3)$ a la recta $3x - 4y + 2 = 0$.

Paso 1: Identificar los valores

• De la ecuación de la recta ($3x - 4y + 2 = 0$):
  $A=3$, $B=-4$, $C=2$
• Del punto ($P(2,-3)$):
  $x_1 = 2$, $y_1=-3$

1. Numerador (dentro del valor absoluto):$$3(2)=6$$ $$(-4)(-3) = 12$$ $$6+12+2=20$$ $$|20| = 20$$
2. Denominador (la raíz cuadrada):$$3^2 = 9$$ $$(-4)^2 = 16$$ $$9+16 = 25$$ $$\sqrt{25}=5$$
3. Resultado final:$$d=\frac{20}{5}=4$$

¿Qué pasa si el resultado es 0? Si al aplicar la fórmula el numerador te da 0 (y por lo tanto $d=0$), significa que el punto pertenece a la recta (está justo encima de ella).

9.7 Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo. Puntos de intersección (ortocentro, circuncentro y baricentro)

Segmentos, de dónde salen y qué punto forman al cruzarse.

1. Las Medianas y el Baricentro
   • Segmento (Mediana): Une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
   • Punto de intersección: Baricentro (o centro de gravedad).
   • Propiedad clave: El baricentro siempre está dentro del triángulo y divide a cada mediana en una relación 2:1 (está al doble de distancia del vértice que del punto medio).
   • Cálculo rápido: Si conoces los vértices $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$, las coordenadas del baricentro son:$$G=(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$$
2. Las Mediatrices y el Circuncentro
   • Segmento (Mediatriz): Es la recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio. (No necesariamente para por el vértice).
   • Punto de intersección: Circuncentro.
   • Propiedad clave: Es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices (equidista de ellos).
3. Las Alturas y el Ortocentro
   • Segmento (Altura): Es la recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.
   • Punto de intersección: Ortocentro.
   • Propiedad clave: En un triángulo rectángulo, el ortocentro es el vértice del ángulo recto.

Resumen:

¿Cómo sacar las ecuaciones? (Pasos generales):

1. Mediana: Hallas el punto medio del lado $BC$, y luego usas la fórmula de la recta que pasa por dos puntos (el vértice $A$ y ese punto medio).
2. Mediatriz: Hallas el punto medio del lado $BC$ y la pendiente perpendicular ($m_2 = -1/m_1$). Usas la fórmula punto-pendiente.
3. Altura: Usas el vértice $A$ y la pendiente perpendicular al lado $BC$.

10.2 Formas ordinaria (canónica) y general de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen

Este es el caso más sencillo de la circunferencia, ya que al estar el centro en el origen $C(0, 0)$, las coordenadas $(h, k)$ desaparecen de la fórmula.

• Ecuación Ordinaria (o Canónica): Se define simplemente por la relación entre $x$, $y$ y el radio:$$x^2+y^2=r^2$$
  • $x, y$: Son las variables de cualquier punto sobre la curva.
  • $r$: Es la medida del radio.
• Ecuación General:
  Para este caso específico, la forma general se obtiene simplemente pasando el radio al lado izquierdo de la igualdad para que quede igualada a cero:$$x^2+y^2-r^2=0$$
• Puntos clave para el examen:
  • Si ves una ecuación donde $x^2$ y $y^2$ están solos (sin términos con $x$ o $y$ de primer grado), el centro siempre es el origen.
  • Cálculo del radio: Si te dan la ecuación $x^2+y^2=36$, el radio no es $36$, sino su raíz cuadrada: $r=6$.
  • Punto por donde pasa: Si te dicen que la circunferencia pasa por un punto $(x, y)$, sustituye esos valores en la fórmula para encontrar $r^2$.
• Ejemplo rápido:
  Si el radio es $r=\sqrt{7}$:
  • Ecuación ordinaria: $x^2+y^2=7$
  • Ecuación general: $x^2+y^2-7=0$

10.4 Elementos de una circunferencia

Segmentos y rectas que interactúan con el círculo:

• Centro ($C$): El punto interior que está a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia.
• Radio ($r$): Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. (Es la mitad del diámetro).
• Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia sin pasar necesariamente por el centro.
• Diámetro ($d$): La cuerda de mayor longitud que pasa por el centro. Equivale a dos radios ($d = 2r$).
• Arco: Porción de la circunferencia limitada por dos puntos de la misma.

Rectas relacionadas:

• Secante: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
• Tangente: Recta que toca a la circunferencia en un solo punto (llamado punto de tangencia).
  • El radio es siempre perpendicular ($90º$) a la recta tangente en el punto de contacto.
• Exterior: Recta que no tiene puntos en común con la circunferencia.

Ángulos importantes:

• Ángulo Central: Tiene su vértice en el centro; su medida es igual a la del arco que subtiende.
• Ángulo Inscrito: Tiene su vértice sobre la circunferencia; su medida es la mitad del arco que subtiende.

Distinguir cuándo el centro está en el origen y cuándo se ha desplazado. Fórmulas y la relación entre ellas:

• Ecuación en el Origen (Canónica simple):
  Se usa cuando el centro es $C(0, 0)$. $$x^2+y^2=r^2$$
  • Ejemplo: Si $r=5$, la ecuación es $x^2+y^2=25$.
• Ecuación Ordinaria (Centro fuera del origen):
  Se usa cuando el centro es $C(h, k)$. $$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$
  • ¡Ojo con los signos!: En la ecuación, $h$ y $k$ aparecen con signo contrario al del centro. Si el centro es $(3, -2)$, la ecuación llevará $(x-3)^2$ y $(y+2)^2$.
• Ecuación General:
  Se obtiene al desarrollar los binomios de la ordinaria e igualar a cero. Su forma es: $$Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$
  • En una circunferencia, siempre se cumple que $A=C$ (generalmente valen 1).
  • No debe existir el término $xy$.
• Consejo para el examen:
  • De Ordinaria a General: Eleva los binomios al cuadrado ($a^2-2ab+b^2$), suma términos semejantes e iguala a cero.
  • De General a Ordinaria: Se usa el método de completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP) para hallar el centro ($h, k$) y el radio $r$.
  • Identificar el radio: Si te dan la ecuación, el número que está solo (después del igual) es $r^2$. No olvides sacarle raíz cuadrada para obtener el radio real.

11.1 Parábola como lugar geométrico

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco ($F$) y de una recta fija llamada directriz ($D$).

• Ecuación base: $d(P, F) = d(P, D)$
• Condición: El foco nunca pertenece a la directriz.

Elementos de la Parábola

• Vértice ($V$): Punto medio entre el foco y la directriz.
• Eje focal: Recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
• Parámetro ($p$): Distancia dirigida desde el vértice al foco (o del vértice a la directriz).
• Lado recto ($LR$): Segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco. Su longitud es $|4p|$.

Ecuaciones Canónicas (Vértice en el origen $V(0,0)$)

• Eje horizontal (Abre hacia la izquierda o derecha)
  • Ecuación: $y^2 = 4px$
  • Foco: $F(p, 0)$
  • Directriz: $x = -p$
  • Gráfica: Si $p > 0$ abre a la derecha. Si $p < 0$ abre a la izquierda.
• Eje vertical (Abre hacia arriba o abajo)
  • Ecuación: $x^2 = 4py$
  • Foco: $F(0, p)$
  • Directriz: $y = -p$
  • Gráfica: Si $p > 0$ abre hacia arriba. Si $p < 0$ abre hacia abajo.

Ejemplo de Examen.
Problema: Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en $F(0,-3)$.

1. Identifica el eje: El foco cambia en el eje $y$, por lo que es vertical ($x^2 = 4py$).
2. Encuentra $p$: La coordenada del foco es $(0,p)$, por lo tanto $p=-3$.
3. Sustituye: $x^2 = 4(-3)y$
4. Resultado: $x^2 = -12y$ (Abre hacia abajo).

11.2 Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados

Identificar la orientación de la parábola (hacia dónde abre) y el valor del parámetro $p$ (distancia del vértice al foco).

Cuando el vértice está en el origen $(0, 0)$, existen dos casos principales:

1. Eje focal coincide con el eje $x$ (Horizontales). La variable al cuadrado es $y$. Su forma ordinaria es:$$y^2=4px$$
   • Si $p > 0$: Abre hacia la derecha.
   • Si $p < 0$: Abre hacia la izquierda.
   • Foco ($F$): $(p, 0)$
   • Directriz ($d$): $x = -p$
2. Eje focal coincide con el eje $y$ (Verticales). La variable al cuadrado es $x$. Su forma ordinaria es:$$x^2 = 4py$$
   • Si $p > 0$: Abre hacia arriba.
   • Si $p < 0$: Abre hacia abajo.
   • Foco ($F$): $(0, p)$
   • Directriz ($d$): $y=-p$

• Elementos comunes
  • Lado Recto ($LR$): Siempre es $|4p|$. Es la anchura de la parábola a la altura del foco.
  • Ecuación General: Se obtiene igualando a cero. Ejemplo: $y^2 -4px = 0$.
• Consejos para el examen:
  1. Identifica el cuadrado: Si $x$ está al cuadrado, es vertical (sube o baja). Si $y$ está al cuadrado, es horizontal (derecha o izquierda).
  2. El valor de $4p$: Si te dan la ecuación $x^2 = 12y$, entonces $4p=12$, por lo tanto $p=3$. Como $p$ es positivo y $x$ está al cuadrado, abre hacia arriba.

11.3 Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en un punto cualquiera del plano y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados

Para una parábola con vértice en un punto cualquiera $V(h, k)$ y eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados, las ecuaciones se definen según su orientación.

1. Parábola Horizontal. El eje focal es paralelo al eje $X$. La parábola se abre hacia la derecha (si $p>0$) o hacia la izquierda (si $p < 0$).
   • Forma Ordinaria (Estándar): $(y-k)^2 = 4p(x-h)$
   • Elementos clave:
     • Vértice: $V(h, k)$
     • Foco: $F(h+p, k)$
     • Directriz: $x = h-p$
     • Eje focal: $y=k$
   • Forma General: $Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$
2. Parábola Vertical. El eje focal es paralelo al eje $Y$. La parábola se abre hacia arriba (si $p >0$) o hacia abajo (si $p < 0$).
   • Forma Ordinaria (Estándar): $(x-h)^2 = 4p(y-k)$
   • Elementos clave:
     • Vértice: $V(h, k)$
     • Foco: $F(h, k + p)$
     • Directriz: $y = k-p$
     • Eje focal: $x = h$
   • Forma General: $Ax^2 + Dx + Ey + F = 0$

De la Forma Ordinaria a la General. Para obtener la forma general, se desarrolla el binomio al cuadrado y se iguala la ecuación a cero:

1. Eleva al cuadrado el término $(x-h)$ o $(y-k)$.
2. Multiplica el término $4p$ por el binomio restante.
3. Traslada todos los términos a un solo miembro de la igualdad para obtener la forma $Ax^2 + Dx + Ey + F = 0$ o $Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$.

11.4 Elementos de una parábola

La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Para identificarla y graficarla en tu examen, debes conocer sus 6 elementos clave:

1. Vértice ($V$): El punto donde la parábola "da la vuelta". Es el punto medio entre el foco y la directriz. En el plano se ubica como $(h, k)$ o $(0,0)$.
2. Foco ($F$) Un punto fijo ubicado en el "interior" de la parábola, sobre el eje focal.
3. Parámetro ($p$): Es la distancia (valor absoluto) entre el vértice y el foco, o entre el vértice y la directriz.
   1. Si $p > 0$, la parábola abre hacia la derecha o hacia arriba.
   2. Si $p < 0$, abre hacia la izquierda o hacia abajo.
4. Eje focal (o de simetría): La recta que pasa por el vértice y el foco. Divide a la parábola en dos partes iguales.
5. Directriz ($d$): Recta fija perpendicular al eje focal. Está a la misma distancia ($p$) del vértice que el foco, pero en sentido opuesto.
6. Lado Recto ($LR$): El segmento de recta que pasa por el foco, es paralelo a la directriz y cuyos extremos tocan la parábola. Su longitud siempre es:$$LR=|4p|$$

Consejo de examen. Si te dan una ecuación y te piden el Lado Recto, no necesitas hacer toda la gráfica; solo identifica el número que acompaña a la variable lineal (la que no está al cuadrado), ya que ese valor siempre representa $4p$.

12.1 Elipse como lugar geométrico

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos $P(x,y)$ en un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos ($F_1$ y $F_2$), es siempre constante.

Esta definición se expresa matemáticamente como:$$d(P, F_1) + d(P, F_2)=2a$$Donde $2a$ es la longitud del eje mayor.

Elementos que definen su forma. Para entenderla como lugar geométrico en el examen, debes visualizar cómo se construye:

1. Focos ($F$): Son los dos puntos fijos que "anclan" la figura. La distancia entre ellos es $2c$.
2. Vértices ($V$): Puntos donde la elipse corta a su eje mayor. La distancia entre ellos es $2a$.
3. Eje Menor: El ancho más angosto de la elipse, con longitud $2b$.
4. Condición fundamental: En toda elipse se cumple la relación pitagórica:$$a^2 = b^2 + c^2$$(Ojo: Aquí la hipotenusa es siempre el semieje mayor $a$).

La Excentricidad ($e$). Es el valor que determina qué tan "alargada" o "redonda" es la elipse. Se calcula como:$$e=\frac{c}{a}$$

• Como $c$ siempre es menor que $a$, la excentricidad de una elipse siempre está entre 0 y 1 ($0 < e < 1$).
• Si $e$ se acerca a $0$, la elipse se parece más a un círculo.
• Si $e$ se acerca a $1$, la elipse es muy alargada.

Consejo de examen. Si un reactivo te pide identificar la definición de elipse, busca la palabra "suma". Si la definición dice "resta" o "diferencia", se refiere a una hipérbola, no a una elipse.

12.2 Relación entre los parámetros a, b y c

En la elipse, la relación entre sus parámetros es el "corazón" para resolver cualquier problema. A diferencia del teorema de Pitágoras convencional, aquí la letra $a$ siempre es el valor más grande.

1. Significado de los parámetros
   • $a$: Semieje mayor (distancia del centro al vértice real).
   • $b$: Semieje menor (distancia del centro al vértice imaginario o extremo del eje menor).
   • $c$: Distancia focal (distancia del centro al foco).
2. La Condición de la Elipse. Para que una elipse exista, se debe cumplir siempre que:$$a >b \,\,\,\,\,\text{y que}\,\,\,\,\, a > c$$
3. La Relación Pitagórica. La fórmula que vincula a los tres es:$$a^2=b^2+c^2$$¿Cómo despejar en el examen?
   Si te falta un dato, usa estos despejes directos:
   • Para hallar la distancia al vértice: $a = \sqrt{b^2 + c^2}$
   • Para hallar la distancia al foco: $c=\sqrt{a^2 - b^2}$
   • Para hallar el semieje menor: $b = \sqrt{a^2 - c^2}$
4. Aplicación en Reactivos. El examen suele darte dos datos para que encuentres el tercero y así puedas armar la ecuación o calcular la excentricidad ($e =c/a$).
   Ejemplo:
   Si una elipse tiene un semieje mayor $a=5$ y una distancia focal $c=3$, ¿cuánto vale su semieje menor $b$?
   1. Aplicas: $b^2 = a^2 - c^2$
   2. $b^2 = 5^2 - 3^2 \Rightarrow b^2 = 25 - 9 = 16$
   3. $b = 4$

Error común: Confundir la fórmula de la elipse con la de la hipérbola. Recuerda: en la Elipse, la $a$ es la más grande. En la hipérbola la $c$ es la mayor.

12.3 Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados

Para estudiar la elipse con centro en el origen $(0,0)$, primero debes identificar hacia dónde "abre" o dónde está su eje focal (la línea que contiene a los focos y es la parte más larga).

1. Elementos clave. En cualquier elipse se cumple que:
   • $a$: Semieje mayor (distancia del centro al vértice). Es siempre el valor más grande.
   • $b$: Semieje menor (distancia del centro al vértice secundario).
   • $c$: Distancia focal. (del centro al foco).
   • Relación fundamental: $a^2 = b^2 + c^2$ (se usa Pitágoras para hallar cualquier dato faltante).
2. Forma Ordinaria (Canónica). Depende de dónde se ubique el valor de $a^2$ (el denominador mayor):

   Eje focal sobre	Ecuación Ordinaria	Gráfica
   Eje X (Horizontal)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	El número mayor está bajo la $x$.
   Eje Y (Vertical)	$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$	El número mayor está bajo la $y$.

3. Forma General. Se obtiene eliminando los denominadores (multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo) e igualando a cero. Su estructura es:$$Ax^2 + Cy^2 +F = 0$$
   • Nota: En la elipse, $A$ y $C$ deben ser diferentes pero con el mismo signo (positivos). Si fueran iguales, sería una circunferencia.

Ejemplo:
Si tienes $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$:

1. $a^2=25\rightarrow a = 5$. Como está bajo la $x$, es horizontal.
2. $b^2 = 9 \rightarrow b= 3$.
3. Para la forma general: Multiplicas todo por $(25)(9)=225$:
   $9x^2+25y^2=225\rightarrow 9x^2 + 25y^2-225=0$

Otros elementos que suelen preguntar:

• Lado Recto ($LR$): $LR=\frac{2b^2}{a}$
• Excentricidad ($e$): $e=\frac{c}{a}$ (siempre es menor a 1).

12.4 Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados

Para la elipse con centro $(h,k)$ fuera del origen, la clave es identificar hacia dónde abre (su eje focal). Fórmulas esenciales:

1. Elementos comunes
   • Centro: $C(h,k)$
   • $a$: Semieje mayor (distancia del centro al vértice).
   • $b$: Semieje menor (distancia del centro al vértice cobal).
   • $c$: Distancia focal (distancia del centro al foco).
   • Relación fundamental: $a^2 = b^2 + c^2$ (recuerda que $a$ es siempre el mayor).
2. Forma Ordinaria (Canónica).
   Eje focal horizontal (paralelo al eje $x$).
   La variable $x$ tiene el denominador más grande ($a^2$):$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$Eje focal vertical (paralelo al eje $y$).
   La variable $y$ tiene el denominador más grande ($a^2$):$$\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1$$
3. Forma General. Se obtiene desarrollando los binomios al cuadrado, eliminando denominadores e igualando a cero. Su estructura es:$$Ax^2 +Cy^2+Dx+Ey+F=0$$Condición para elipse: $A$ y $C$ deben tener el mismo signo pero diferentes valores ($A\neq C$). Si fueran iguales, sería una circunferencia.

Consejos de examen:

1. Identificar orientación: Mira los denominadores. Si el número mayor está debajo de $x$, la elipse es "acostada"; si está debajo de $y$, es "parada".
2. Excentricidad ($e$): Siempre es $e=\frac{c}{a}$ y en la elipse el resultado es siempre menor a 1.
3. Lado Recto ($LR$): $LR=\frac{2b^2}{a}$.

12.5 Elementos de una elipse

Para identificar una elipse, debes visualizarla como un círculo "achatado". Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Elementos que debes memorizar y saber ubicar en el plano:

1. Elementos Principales
   • Centro ($h, k$): Punto medio de la elipse. Si está en el origen, es ($0, 0$).
   • Vértices ($V$): Puntos más alejados del centro (extremos del eje mayor).
   • Focos ($F$): Dos puntos fijos sobre el eje mayor. La elipse siempre se "curva" rodeándolos.
   • Eje Mayor: La distancia más larga entre vértices ($V_1$ a $V_2$). Su longitud es $2a$.
   • Eje Menor: La distancia más corta ($B_1$ a $B_2$). Su longitud es $2b$.
2. Parámetros de Distancia. En el examen, todo se resuelve con estas tres letras:
   • $a$: Distancia del centro al vértice (Semieje mayor).
   • $b$: Distancia del centro al extremo del eje menor (Semieje menor).
   • $c$: Distancia del centro al foco.
3. La Relación Fundamental. A diferencia de Pitágoras tradicional, en la elipse $a$ es la hipotenusa (el lado más largo):$$a^2=b^2+c^2$$
4. Otros elementos técnicos
   • Lado Recto ($LR$): Cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje mayor. Indica qué tan "abierta" está la elipse.$$LR=\frac{2b^2}{a}$$
   • Excentricidad ($e$): Mide qué tan "achatada" es. Siempre es un número entre 0 y 1 ($0 < e < 1$).$$e=\frac{c}{a}$$Si $e$ se acerca a $0$, parece un círculo. Si se acerca a $1$, es muy alargada.

Consejo de examen: Si te dan la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9}=1$, el número más grande siempre es $a^2$. En este caso, $a^2 = 25$ (eje mayor horizontal) y $b^2=9$.

13.1 Hipérbola como lugar geométrico

La hipérbola es un tema frecuente en la sección de Geometría Analítica. Entenderla como lugar geométrico es la base para no confundirla con la elipse.

1. Definición como lugar geométrico. La hipérbola es el conjunto de todos los puntos ($P$) en un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos, $F_1$ y $F_2$) es constante.
   La condición matemática es:$$|d(P, F_1) -d(P, F_2)|=2a$$
   • Diferencia clave: Mientras que en la elipse las distancias se suman ($d_1 + d_2 = 2a$), en la hipérbola las distancias se restan.
   • $2a$: Es la distancia entre los dos vértices de la hipérbola (eje real).
2. Elementos principales. Para el examen, identifica estos componentes en el dibujo o la ecuación:
   • Focos ($F$): Puntos fijos sobre el eje focal.
   • Vértices ($V$): Puntos donde la curva cruza el eje focal.
   • Centro ($C$): Punto medio entre los focos (o entre los vértices).
   • Eje Transverso (Real): Segmento que une los vértices (longitud $2a$).
   • Eje Conjugado (Imaginario): Segmento perpendicular al real (longitud $2b$).
   • Asíntotas: Las dos líneas rectas que "guían" la apertura de las ramas de la hipérbola pero que la curva nunca toca.
3. La relación pitagórica. A diferencia de la elipse, en la hipérbola el foco está más lejos del centro que el vértice. Por lo tanto, la distancia focal ($c$) es la más grande:$$c^2 = a^2 + b^2$$
4. Ejemplo de pregunta.
   ¿Cuál es el lugar geométrico en el que la diferencia de las distancias de un punto a dos puntos fijos permanece constante?
   1. Parábola
   2. Elipse
   3. Circunferencia
   4. Hipérbola
   Respuesta correcta: D. La palabra clave es "diferencia". Si dijera "suma", sería elipse; si dijera "distancia a un punto y una recta", sería parábola.

13.2 Relación entre los parámetros de la hipérbola $a$, $b$ y $c$

Para entender la hipérbola, es fundamental dominar la relación entre sus tres parámetros principales.

• $a$ (Semieje real o transverso): Es la distancia desde el centro hasta cualquiera de los dos vértices. Determina dónde "abre" la curva.
• $b$ (Semieje imaginario o conjugado): Es la distancia del centro a los extremos del eje que no toca la hipérbola. Ayuda a definir la apertura de las asíntotas.
• $c$ (Semidistancia focal): Es la distancia desde el centro hasta cualquiera de los dos focos.

La Relación Fundamental (Teorema de Pitágoras). A diferencia de la elipse (donde $a^2 = b^2 + c^2$), en la hipérbola los focos están más alejados del centro que los vértices, por lo tanto $c$ es el parámetro mayor. La relación se define como:$$c^2=a^2+b^2$$De esta fórmula puedes despejar cualquier valor según lo necesites:

• $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• $b = \sqrt{c^2- a^2}$

Excentricidad ($e$). Indica qué tan "abierta" o "cerrada" es la hipérbola. Se calcula con la razón entre $c$ y $a$: $$e=\frac{c}{a}$$Dato clave: En la hipérbola, siempre se cumple que $e > 1$.

Lado Recto ($LR$). Es la cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal. Su longitud depende de $a$ y $b$:$$LR=\frac{2b^2}{a}$$

Consejos para no confundirte

• En la Elipse, el parámetro más grande es $a$ (la hipotenusa en su Pitágoras).
• En la Hipérbola, el parámetro más grande es $c$ (la hipotenusa en su Pitágoras).

13.3 Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados

Para una hipérbola con centro en el origen $C(0,0)$, la ecuación depende de si es horizontal o vertical. La diferencia clave con la elipse es el signo negativo.

1. Hipérbola Horizontal. El eje focal coincide con el eje $X$. Abre hacia la izquierda y derecha.
   • Forma Ordinaria: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
   • Elementos:
     • Vértices: $V(\pm a, 0)$
     • Focos: $F(\pm c, 0)$
     • Asíntotas: $y = \pm \frac{b}{a}x$
2. Hipérbola Vertical. El eje focal coincide con el eje $Y$. Abre hacia arriba y abajo.
   • Forma Ordinaria: $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$
   • Elementos:
     • Vértices: $V(0, \pm a)$
     • Focos: $F(0, \pm a)$
     • Asíntotas: $y = \pm \frac{a}{b}x$

Relación Fundamental. En la hipérbola, el parámetro $c$ (distancia al foco) es el más grande:$$c^2 = a^2 + b^2$$

Forma General. Para ambas, la forma general se obtiene eliminando denominadores e igualando a cero:$$Ax^2 + Cy^2 + F =0$$Donde A y C deben tener signos diferentes.

13.5 Elementos de una hipérbola

Este es uno de los temas de geometría analítica que más puntos apoprta si dominas los nombres y las distancias clave. En el examen, identificar estos elementos es el 90$ del éxito para resolver ecuaciones.

• Definición Rápida: Es el lugar geométrico donde la diferencia de las distancias a dos puntos fijos (focos) es constante).
• Elementos Clave
  • Centro ($C$): Punto medio de la hipérbola. Puede estar en el origen $(0,0$) o fuera de él $(h, k)$.
  • Vértices ($V_1, V_2$): Puntos donde la curva corta al eje real. La distancia del centro al vértice es $a$.
  • Focos ($F_1, F_2$): Puntos fijos dentro de cada rama. La distancia del centro al foco es $c$.
  • Eje Conjugado (imaginario): Perpendicular al eje real. La distancia del centro a los extremos de este eje es $b$.
• Relaciones Métricas
  • Eje Real (o Transverso): Longitud $=2a$. En donde están los vértices y focos.
  • Eje Conjugado: Longitud $=2b$.
  • Eje Focal: Longitud $=2c$.
  • Relación Pitagórica: En la hipérbola, el foco es el más alejado, por lo que: $c^2=a^2+b^2$ (A diferencia de la elipse, donde $a^2=b^2+c^2$).
• Estructuras de la Curva
  • Lado Recto ($LR$): Cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje real. Su fórmula es: $LR=\frac{2b^2}{a}$.
  • Excentricidad ($e$): Mide qué tan "abierta" está la hipérbola. $e=\frac{c}{a}$. Nota: En la hipérbola, siempre $e>1$.
  • Asíntotas: Son las dos líneas rectas a las que la hipérbola se aproxima pero nunca toca. Cruciales para identificar la gráfica.
• Orientación
  • Horizontal: Los focos están sobre el eje $x$ (o paralelo a él). La $x$ es positiva en la ecuación.
  • Vertical: Los focos están sobre el eje $y$ (o paralelo a él). La $y$ es positiva en la ecuación.

14.1 Las cónicas

Para dominar las cónicas: identificar cada figura por su ecuación y conocer sus elementos característicos.

• Definición: Son las curvas resultantes de la intersección entre un cono y un plano.
• Ecuación General de Segundo Grado: $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$.
  • Nota: Para el examen, normalmente $B=0$ (ejes paralelos a los cartesianos).
• Identificación rápida (si $B=0$):
  • Circunferencia: $A$ y $C$ son iguales y tienen el mismo signo ($x^2+y^2$).
  • Parábola: Solo una de las variables está elevada al cuadrado ($A=0$ o $C=0$).
  • Elipse: $A$ y $C$ son diferentes pero tienen el mismo signo ($2x^2 + 5y^2$).
  • Hipérbola: $A$ y $C$ tienen signos opuestos ($3x^2-4y^2$).
• Elementos críticos por figura:
  • Circunferencia: Centro ($h, k$) y radio $r$.
  • Parábola: Vértice, foco, directriz y el lado recto ($LR=|4p|$).
  • Elipse: Centro, vértices, focos y la relación $a^2=b^2+c^2$ (donde $a$ es el semieje mayor).
  • Hipérbola: Centro, vértices, focos, asíntotas y la relación $c^2=a^2+b^2$.
• Excentricidad ($e=c/a$):
  • Circunferencia: $e=0$.
  • Elipse: $ 0 < e < 1 $.
  • Parábola: $e = 1$.
  • Hipérbola: $e>1$.